Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:
ax^2 + bx + c = 0, \quad \mbox{para}\;a\neq 0


donde "x" representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola.

Fórmula cuadrática:

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el símbolo ± indica que los valores

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}       y       \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}


Ecuación bicuadrática:

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en  x^n\, es de la forma:
  ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable  y = x^n\, , las soluciones de la ecuación (*) pueden reducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si son soluciones de la ecuación:
ay^2 +by + c = 0 \,


Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:\begin{cases} x_k = (y_1)^{\frac{1}{n}} \left(\cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = 1\dots n \\ x_k = (y_2)^{\frac{1}{n}} \left(\cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = n+1\dots 2n \end{cases}



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